เรื่องของวันเกิด ความไม่บังเอิญเกี่ยวกับวันเกิด

วันนี้ผมมาทำหน้าที่นักคณิตศาสตร์แก้ปัญหาเรื่องความน่าจะเป็น ซึ่งเป็นเครื่องมือสำคัญมากในการติดสินใจต่าง ๆ ผมจะยกตัวอย่างสำคัญเรื่องการเล่นหวยหรือที่บางคนเรียกว่าล็อตเตอรี่ นักคณิตศาสตร์มีความลำบากใจมากในเรื่องนี้ เพราะในขณะที่ฝ่ายหนึ่งด่านักคณิศาสตร์

ความไม่บังเอิญเกี่ยวกับวันเกิด

โดย ผศ.ดร.วัชรินทร์ วิชิรมาลา

           วันนี้ผมมาทำหน้าที่นักคณิตศาสตร์แก้ปัญหาเรื่องความน่าจะเป็น  ซึ่งเป็นเครื่องมือสำคัญมากในการติดสินใจต่าง ๆ  ผมจะยกตัวอย่างสำคัญเรื่องการเล่นหวยหรือที่บางคนเรียกว่าล็อตเตอรี่  นักคณิตศาสตร์มีความลำบากใจมากในเรื่องนี้   เพราะในขณะที่ฝ่ายหนึ่งด่านักคณิตศาสตร์ว่าทำไมไม่เห็นเตือนสติชาวบ้านว่า หวยเป็นสาเหตุหนึ่งที่ทำให้เกิดความยากจน  ฝ่ายที่ชื่นชอบการเล่นหวยก็ด่าว่าอย่ามาขัดขวางหนทางร่ำรวยของเขา

          เราลองมาดูการแทงเลขท้ายสองตัวดูนะครับ  มันออกได้ 100 แบบ คือ 00 01 02 … ยัน 99  เวลามันออก 00  ชาวบ้านก็บ่นว่าเลยไม่สวย ใครจะแทงถูก  เวลามันออกซ้ำกับงวดที่เพิ่งออกไปไม่นาน ชาวบ้านก็ด่าว่าแล้วยังงี้จะแทงถูกได้ไงวะ  เวลาแทงผิดไปนิดเดียวก็เจ็บใจและมีพลังแค้นเล่นงวดต่อ ๆ ไป  เราจะกลับมาวิเคราะห์เรื่องนี้ในตอนท้ายหลังจากดูเรื่องมหัศจรรย์เกี่ยวกับ การตรงกันของวันเกิดนะครับ

          กิจกรรมที่เรามักทำร่วมกันในกลุ่มเพื่อนหรือญาติก็คือกินเลี้ยงวันเกิด  ใครเกิดใกล้ ๆ กัน ก็รวมมาเลี้ยงพร้อมกันจะได้ไม่ต้องจัดกันบ่อย ๆ  แต่มันจะน่าตื่นเต้นเป็นพิเศษหากมีเพื่อนเราเกิดวันเดียวกันหลาย ๆ คน  ยิ่งมากยิ่งฮา   เมื่อถึงวันเกิดก็มักจะมีกิจกรรมพิเศษ  ในขณะที่ส่วนใหญ่กินเลี้ยงหรือไปเที่ยว  อีกส่วนน้อยก็เลือกที่จะทำอะไรแปลก ๆ ทั้งที่เปิดเผยได้และเปิดเผยไม่ได้

           ตอนเรียนหนังสือระดับประถมหรือมัธยมเราก็จะเคยเจอว่ามีเพื่อนในห้องเรามีวัน เกิดตรงกัน ยิ่งมีจำนวนนักเรียนในห้องมาก ก็จะยิ่งมีโอกาสที่จะมีสักอย่างน้อยสองคนที่วันเกิดตรงกัน  ถ้าจะให้แน่ใจได้ว่าจะมีคนเกิดตรงกันในห้องก็คงต้องให้มีนักเรียน 367 คน  พูดง่าย ๆ ว่าถ้าจะไม่ให้มีการซ้ำกันเลยก็จะต้องมีนักเรียนได้อย่างมาก 366 คน  ก่อนที่จะดูต่อไปผมขอให้เราพักไว้ก่อนว่า   ลองมาตอบคำถามง่าย ๆ กันก่อน  ถ้าจะให้โอกาสการมีวันเกิดซ้ำกันเป็น 50% เราจะต้องมีคนกี่คนเอ่ย 100? 150? 183? 200?  คนสัก 50 คนจะมีโอกาสวันเกิดซ้ำกันมากแค่ไหน  จำคำเดาของตัวเองไว้นะครับ   เรากำลังจะไปคำนวณกันแล้วหละ

          เป้าหมายของเราก็คือดูว่าหากเรามีคน N คน เมื่อ N เป็นจำนวนนับหรือจำนวนเต็มบวก   จะมีโอกาสแค่ไหนที่จะมีคนเกิดวันเดียวกันบ้าง  ก่อนอื่นเราต้องกล่าวถึง 2 หลักการต่อไปนี้

          หลักการที่ 1  โอกาสที่จะเกิดเหตุการณ์ ห  เท่ากับ  1- โอกาสที่จะไม่เกิดเหตุการณ์ ห  เท่ากับ  1- โอกาสที่จะเกิดเหตุการณ์ไม่ ห  เท่ากับ  1- โอกาสที่เกิดเหตุการณ์ ห ไม่  เท่ากับ  1- โอกาสที่จะไม่เกิดเหตุการณ์ไม่ ห ก็ใช่ไม่

          หลักการที่ 2 โอกาสที่จะเกิดเหตุการณ์ที่ 1 และ 2 ซึ่งเป็นอิสระต่อกันไม่เกี่ยวกันไม่มีผลต่อกัน  เท่ากับ  ผลคูณของโอกาสที่จะเกิดเหตุการณ์ที่ 1 และโอกาสที่จะเกิดเหตุการณ์ที่ 2 เท่ากับ  โอกาสที่จะเกิดเหตุการณ์ที่ 2 บวกกันโอกาสที่จะเกิดเหตุการณ์ที่ 1 ครั้ง

          ทีนี้ก็มาดูกันว่าคน N คน จะมีโอกาสเกิดไม่ตรงกันเลยเท่าใด  ขอตกลงก่อนว่าปีหนึ่งมีแค่ 365 วัน เพื่อความสะดวก เพราะวันที่ 29 กุมภาพันธ์มันมีน้อยกว่าวันอื่นมาก ๆ  เราเริ่มโดยแจกบัตรคิวให้ทุกคน  เรียกคนที่หนึ่งเข้ามา จับนั่งให้เรียบร้อยตามแบบฉบับไทย ๆ  เรียกคนที่สองมา โอกาสที่จะไม่เกิดตรงกับคนแรกคือ 364/365  เรียกคนที่สามมา โอกาสที่คนที่สามจะเกิดไม่ตรงกับสองคนแรกคือ 363/365  เรียกคนที่สี่เข้ามา โอกาสที่จะไม่เกิดตรงกับสามคนแรกคือ 362/365  ทำเช่นนี้ไปเรื่อย ๆ ก็จะพบว่าโอกาสที่คนสุดท้ายหรือคนที่ N จะเกิดไม่ตรงกับ N-1 คนแรกคือ (366-N)/365  ทำให้โอกาสที่จะไม่มีใครเกิดตรงกันเลยคือ 
                
          ดังนั้นโอกาสที่จะมีคนเกิดตรงกันบ้างคือ  ทีนี้ก็มาดูกันว่าค่านี้มันจะสักเท่าไหร่กันเชียวในกรณีต่าง ๆ  เช่น ห้องเรียนเด็กชาย ก. มีทั้งหมด 38 คน  ก็จะมีโอกาส 
เฮ้ย! ทำไมมันเยอะอย่างนี้วะ   พูดออกมาเลยครับ ไม่ต้องเกรงใจกัน  ค่ามันเยอะเกินคาดจริง ๆ   เราลองมาดูค่านี้ ณ N ต่าง ๆ กันดูนะครับ  เริ่มจาก 1 ถึง 100 
                                  
จะเห็นว่าแค่ 60 คน มันก็มีโอกาสเกือบ 100% แล้ว   ทีนี้เราก็มาดูภาพขยายช่วงต้นและท้ายดังนี้
                                  
ก็จะเห็นว่า ถ้าจะให้มีโอกาส 50% ที่จะเกิดตรงกัน ก็ขอให้มีคนเพียง 23 คนก็พอ ซึ่งจะมีโอกาส 50.7%
                               
           ส่วนนี้ก็จะบอกว่า 47 คนจะมีโอกาส 95.48%  คือไม่ตรงกันเลยได้แค่ไม่ถึง 1 ใน 20  บ้าไปแล้ว
ตัวเองยอมรับมาเถอะว่ามันเกิดคาด
           ดังนั้นพนันได้เลยว่าในกลุ่มที่มีคนเกิน 50 คนนั้นจะมีคนเกิดตรงกัน แทงหนึ่งจ่ายสิบได้เลย  เอ๊ะ! ตรงลงผมเคยบอกว่าไม่ควรเล่นการพนันหรือเปล่าหว่า
           ถ้าแค่นี้ยังไม่สะใจพอก็มาหาโอกาสที่จะมีวัน วันที่และเดือนเกิดตรงกัน  ซึ่งมีตั้ง 7x365 = 2,555 แบบ  แต่ก็อีกนั่นแหละ โอกาสมันมากจริง ๆ ที่ทำงานของผมมีอาจารย์ 60 ท่าน มีโอกาสเกิดวัน วันที่และเดือนตรงกันตั้ง 50.25% เชียวนะ
           ไหน ๆ ก็ไหน ๆ แล้ว เรามาดูการเล่นหวยเลขท้ายสองตัวกันอย่างละเอียดดีกว่า   ด้วยหลักการเดียวกันเราก็จะสรุปได้ว่าในไม่กี่งวดก็จะมีการออกซ้ำกันได้   ดังนั้นก็ไม่ใช้การล็อคเลขตามข่าวลือแต่อย่างใด (ประโยคนี้กองสลากกินแบ่งเป็นสปอนเซอร์)
           ผมจึงขอแนะนำว่าการเล่นหวยเลขท้ายสองสามตัวนั้นควรเล่นกันเองในครอบครัวหรือ ถ้าเล่นบ่อยและหนักก็ควรเป็นเจ้ามือตัวเอง  ในระยะยาวก็จะมีโอกาสกำไร   แต่ผมก็ขอเตือนไว้ก่อนนะครับว่าเรื่องนี้มันเกี่ยวกับความน่าจะเป็น  ไม่ใช่สิ่งที่จะเป็น ดังนั้นอาจมีบางบ้านที่ลองวิธีนี้ต้องบ้านแตกเพราะดันมีคนแทงถูกเยอะ ๆ จนเงินส่วนกลางไม่พอจ่าย  อย่ามาโทษผมนะ
           ดังนั้นจึงไม่ใช่เรื่องบังเอิญเลยที่ห้องเรียนเล็ก ๆ  ที่ทำงานไม่ใหญ่ จะมีคนเกิดตรงกัน  ไม่เชื่อพนันกับผมได้
           ก็มาถึงช่วงของการบ้านนะครับ  สำหรับคนที่ชอบหาความน่าจะเป็น  เรื่องมีอยู่ว่าสมมุติว่าเรามีไพ่สองสำรับ สับแต่ละสำรับให้เละเลย   ด้วยมือนะครับไม่ใช่มีด  แล้วก็มาเปิดดูว่าใบแรกของแต่ละสำรับมันหน้าตรงกันไหม  ต้องทั้งเลขและดอกตรงกันนะ  ซึ่งก็มีโอกาสเพียง 1/52 หลังจากเอาโจ๊กเกอร์ออกไป  แล้วก็เปิดใบที่สองของแต่ละสำรับดูว่ามันหน้าตรงกันไหม ทำไปเรื่อย ๆ จนหมด   ใน 52 คู่นั้นมันจะตรงกันได้บ้างหรือเปล่า  จะมีโอกาสตรงกันบ้างสักเท่าไรเชียว
           อีกคำถามก็เป็นเรื่องการพนันล้วน ๆ ว่าเราควรมีหลักการอย่างไรในการแทงหวยเลขท้ายสองตัว หรือเล่นทายหัวก้อย  ลองใช้สิ่งที่เพิ่งได้อ่านประกอบการคิดดูนะครับ
           สุดท้ายผมก็ขอขอบคุณ อ.ดร.จิณดิษฐ์ ละออปักษิณ ที่คณะครุศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัยที่เล่าเรื่องน่าทึ่งพวกนี้ให้ผมและหลาย ๆ คนฟัง  มันน่าตื่นเต้นจนผมต้องมาเล่าต่อ  หวังว่าผู้อ่านจะรู้สึกสนุกกับคณิตศาสตร์ มากขึ้นนะครับ

ที่มา www.vcharkarn.com