เคล็ด(ไม่)ลับกับสงครามโจทย์นานาชาติ ตอนที่ 3

คล็ด(ไม่)ลับกับสงครามโจทย์นานาชาติ  ตอนที่ 2

parot

บทนำ

           การหารลงตัว คือ การหารจำนวนนับด้วยจำนวนนับ แล้วได้ผลหารเป็นจำนวนนับและไม่เหลือเศษหรือเศษเป็นศูนย์ 
           เช่น นำ 4 ไปหาร 32 ได้ผลลัพธ์ 8 ไม่มีเศษ เรียกว่า 32 หารด้วย 4 ลงตัว
                      เขียนแทนด้วย = 8 เนื่องจาก 4 x 8 = 32
                นำ 4 ไปหาร 13 ได้ผลลัพธ์ 3 เศษ 1 เรียกว่า 13 หารด้วย 4 ไม่ลงตัว
2) จำนวนเฉพาะ 
                จำนวนเฉพาะหมายถึง จำนวนนับที่มากกว่า 1 ซึ่งมีตัวประกอบเพียง 2 ตัว คือ 1 และตัวเองเท่านั้น เช่น 2,3, 5 ,7, 11, 13 ,17,...
ถาม*****ครูคะ 1 เป็นจำนวนเฉพาะหรือไม่คะ?
ตอบ****...........! (คิดดูก่อน และดูตัวอย่างนะคะ)

ตัวอย่าง
                 2 เป็นจำนวนเฉพาะ เพราะตัวประกอบของ 2 มีเพียง 2 ตัวคือ 1 และ 2
                 3 เป็นจำนวนเฉพาะ เพราะตัวประกอบของ 3 มีเพียง 2 ตัว คือ 1 และ 3
                7 เป็นจำนวนเฉพาะ เพราะตัวประกอบของ 7 มีเพียง 2 ตัว คือ 1 และ 7
               15 ไม่เป็นจำนวนเฉพาะ เพราะตัวประกอบของ 15 มีมากกว่า 2 ตัว คือ 1,3,5,15
****เอ! จากตัวอย่างจำนวนที่เราเรียกว่าจำนวนเฉพาะ สังเกตพบว่า มีตัวประกอบแค่ 2 ตัวนี่นา คือ 1  และ ...............
งั้น.... 1  เป็นจำนวนเฉพาะมั้ยเอ่ย
สังเกตุให้ดี ๆ นะ...
***ตัวเลขที่มีการหารด้วย 2 ลงตัว :  จำนวนนับที่มีหลักหน่วยเป็นเลข 0,2,4,6หรือ8 จะหารด้วย 2 ลงตัว
***การหารด้วย 3ลงตัว : จำนวนนับใดจะหารด้วย 3ลง ตัว ก็ต่อเมื่อผลบวกของเลขโดดทุกหลักของจำนวนนับนั้นหารด้วย 3 ลงตัว
เช่น 321 หารด้วย 3 ลงตัว เพราะ 3+2+1 = 6 หารด้วย 3 ลงตัว
1,353 หารด้วย 3 ลงตัว เพราะ 1+3+5+3 = 12 หารด้วย 3 ลงตัว
***การหารด้วย 5 ลงตัว : จำนวนนับที่มีหลักหน่วยเป็น 0 หรือ 5 จะหารด้วย 5 ลงตัว
กระชอนของเอราโตสเทเนส (The Sieve of Eratosthenes) 
          คือ วิธีหาจำนวนเฉพาะโดยการตัดจำนวนที่ไม่ใช่จำนวนเฉพาะทิ้งโดยอาศัยจำนวนเฉพาะที่รู้จัก แล้วมาคูณกับจำนวนนับ (ยกเว้น 1) ซึ่งผลที่ได้จะเกิดจำนวนใหม่และจำนวนใหม่ต้องไม่ใช่จำนวนเฉพาะแน่นอน เพราะมีตัวประกอบมากกว่า 2 ตัว ส่วนที่เหลือคือจำนวนเฉพาะ (อาจเสียเวลามากหน่อยค่ะ)  
 นักคณิตศาสตร์ชาวกรีก  ชื่อ  เอราโตสเทเนส (Eratosthenes)  เป็นผู้คิดวิธีการหาจำนวนเฉพาะจากจำนวนนับ  ตั้งแต่ 1 ถึง n ด้วยวิธีการตัดจำนวนนับที่ไม่เป็นจำนวนเฉพาะทิ้ง เราเรียกวิธีการนี้ว่า ตะแกรงของเอราโตสเทเนส (The Sieve of Eratosthenes)

3) การแยกตัวประกอบ 
            ตัวประกอบ ของจำนวนนับใด ๆ คือจำนวนนับที่หารจำนวนนั้นได้ลงตัว 
            การแยกตัวประกอบของจำนวนนับใด ๆ คือประโยคที่แสดงการเขียนจำนวนนับนั้นในรูปการคูณของตัวประกอบเฉพาะ  ในการแยกตัวประกอบบางจำนวนจะมีตัวประกอบเฉพาะบางตัวซ้ำกัน  เราจะเขียนตัวประกอบเฉพาะเหล่านั้นให้กะทัดรัดขึ้น ดังนี้
             (การแยกตัวประกอบคือ การเขียนเป็นผลคูณของจำนวนเฉพาะ)
            6     = 2 x 3 
            8     = 2 x 2 x 2
           12   = 2 x 2 x 3 
            48  =  2 x 2 x 2 x 2 x 3          
                    =  x 3  (2 x 2 x 2 x 2 =  )
            180  =  2 x 2 x 2 x 2 x 5
                     =  x  x 5  ( 2 x 2 =    และ  3 x 3 = )
       เช่น  ตัวประกอบของ 12 คือ 1, 2, 3, 4, 6 ,12
เพราะ                12 หาร 1  ได้ลงตัว มี ค่า = 12
                            12 หาร 2  ได้ลงตัว มีค่า = 6
                            12 หาร 3 ได้ลงตัว มีค่า = 4
                            12 หาร 4 ได้ลงตัว มีค่า = 3
                             12 หาร 6 ได้ลงตัว มีค่า = 2
                             12 หาร 12 ได้ลงตัว มีค่า = 1
ดังนั้น   ตัวประกอบของจำนวนนับ a คือจำนวนนับที่หาร a ได้ลงตัว
 ตัวอย่าง  ตัวประกอบของ 15 เท่ากับ 1, 3 , 5 ,15 
  ตัวประกอบเฉพาะ คือ ตัวประกอบที่เป็นจำนวนเฉพาะ
ตัวอย่าง   10 = 5x 2 รูปแบบนี้เรียกว่าการแยกตัวประกอบ
                  12 = 3 x 4 รูปแบบนี้ไม่เรียกว่าเป็นการแยกตัวประกอบ เพราะเลข 4 ยังไม่เป็นตัวประกอบเลย (สามารถแยกต่อได้อีกน่ะ)
แต่ถ้าเขียน 12 = 3 x 2 x 2 จึงจะเรียกว่าถูกเขียนให้อยู่ในรูปการแยกตัวประกอบ
การแยกตัวประกอบมี 2 วิธี
วิธีที่ 1 โดยการหาตัวประกอบทีละ 2 จำนวน หลาย ๆ ขั้น จนได้ตัวประกอบเฉพาะ  (บางครั้งเราเรียกกันติดปากว่าแยกต่อเป็นรากต้นไม้)
วิธีที่ 2  โดยวิธีการตั้งหารสั้น

4) ตัวการร่วมมาก (ห.ร.ม.) และตัวคูณร่วมน้อย (ค.ร.น.) 
ตัวหารร่วมที่มากทีสุด (ห.ร.ม.)
           ตัวหารร่วมที่มากที่สุดของจำนวนใดๆ  ตั้งแต่ 2 จำนวนขึ้นไป  หมายถึง  จำนวนที่มีค่ามากที่สุดที่สามารถหารจำนวนทั้งหมดเหล่านั้นได้ลงตัว
   
วิธีการหา  ห.ร.ม.
            1.  โดยการแยกตัวประกอบ มีวิธีการดังนี้
                       (1) แยกตัวประกอบของจำนวนทุกจำนวนที่ต้องการหาร ห.ร.ม.
                       (2) เลือกตัวประกอบที่ซ้ำกันของทุกจำนวนมาคูณกัน
                       (3) ห.ร.ม. คือ  ผลคูณที่ได้
             
                   ตัวอย่าง   จงหา ห.ร.ม. ของ  56   84  และ 140
             วิธีทำ            56 =  2  x 2 x 2 x 7 
                                84 =   2 x 2 x 3 x 7
                              104 =   2 x 2 x 5 x 7
                              เลือกตัวที่ซ้ำกัน  ที่อยู่ทั้ง 56, 84และ 104 ตัวที่ซ้ำกันเอาออกมาซ้ำละ 1 ตัว    มีเลข  2   เลข  2 และ เลข 7
                 ดังนั้น       ห.ร.ม.   =  2 x 2 x 7  = 28

            2. การหารสั้น   มีวิธีการดังนี้
                        1)  นำจำนวนทั้งหมดที่ต้องการหา ห.ร.ม. มาเขียนเรียงกัน
                        2)  หาจำนวนเฉพาะที่สามารถหารจำนวนทั้งหมดได้ลงตัวมาหารไปเรื่อยๆ  จนกว่าไม่สามารถหาได้
                        3)  นำตัวหารทุกตัวที่ใช้มาคูณกัน  เป็นค่าของ  ห.ร.ม.

                ตัวอย่าง   จงหา ห.ร.ม. ของ  56   84  และ 140
                         วิธีทำ      2)  56       84       104
                                      2)  28       42        70
                                      7)  14       21        35
                                            2         3         5

                           ห.ร.ม.  คือ  2 x 2 x 7 = 28
 ประโยชน์ของ  ห.ร.ม.
            1. ใช้ทอนเศษส่วนให้เป็นเศษส่วนอย่างต่ำ
            2. ใช้คำนวณการแบ่งสิ่งของที่มีจำนวนไม่เท่ากันออกเป็นส่วนๆ  ที่เท่ากันโดยไม่ปะปนกันและให้เป็นจำนวนที่มากที่สุด

ตัวคูณร่วมน้อยที่สุด  (ค.ร.น.)
          ตัวคูณร่วมน้อยที่สุดของจำนวนใดๆ  ตั้งแต่ 2 จำนวนขึ้นไป  หมายถึง  จำนวนที่น้อยที่สุดที่จำนวนเหล่านั้นมาหารได้ลงตัว  หรือจำนวนที่น้อยที่สุดที่มีจำนวนเหล่านั้นเป็นตัวประกอบ

     วิธีการหา  ค.ร.น.
          1.  โดยการแยกตัวประกอบ  มีวิธีการดังนี้
ื               1)  แยกตัวประกอบของจำนวนทุกจำนวนที่ต้องการหา  ค.ร.น.
               2)  เลือกตัวประกอบตัวที่ซ้ำกันมาเพียงตัวเดียว
               3)  เลือกตัวประกอบตัวที่ไม่ซ้ำกันมาทุกตัว
               4)  นำจำนวนทีี่่่เลือกมาจากข้อ 2และ 3มาคูณกันทั้งหมด  เป็นค่าของ  ค.ร.น.

                   ตัวอย่าง      จงหา   ค.ร.น.  ของ  10,   24 และ  30
                        วิธีทำ       10 =   2 x 5
                                         24 =    2 x  2 x 2 x 3
                                         30 =   2 x 3 x 5

                         ค.ร.น.  =  2 x 2 x  2 x 3 x 5  = 120

          2. โดยการหารสั้น  มีวิธีการดังนี้
                1) นำจำนวนทั้งหมดที่ต้องการหา  ค.ร.น.  มาตั้งเรียงกัน
                2) หาจำนวนเฉพาะที่สามารถหารจำนวนทั้งหมดได้ลงตัว  หรือหารลงตัวอย่างน้อย 2 จำนวน  จำนวนใดหารไม่ได้ให้ดึงลงมา
                3) ให้ทำซ้ำข้อ 2 จนกว่าจะหารอีกไม่ได้
                4) นำตัวหารทั้งหมดและผลลัพธ์สุดท้ายมาคูณกัน  ผลคูณคือค่าของ  ค.ร.น.

                     ตัวอย่าง    จงหา   ค.ร.น.  ของ  10,   24 และ  30

                         วิธีทำ    2)  10     24     30
                                    5)  5      12      15
                                    3)  1      12       3
                                         1       4        1

                         ค.ร.น.   =  2 x 5 x 3 x 4 = 120
ประโยชน์ของ  ค.ร.น.
          1. ใช้ในการหาผลบวกและผลลบของเศษส่วน  โดยทำส่วนให้เท่ากัน
          2.  ใช้ในการคำนวณงานบางอย่างที่ใช้เวลาต่างกัน  และหาเวลาที่จะทำพร้อมกันในครั้งต่อไป

สรุปได้ว่าหา ห.ร.ม. ได้ 3 วิธี 
1. โดยวิธีการหารสั้น โดยหาตัวมาหารทุกจำนวนลงตัว (พร้อมกัน) ห.ร.ม. คือ ผลคูณของจำนวนที่หารได้ลงตัวทุกจำนวน
2. โดยวิธีการแยกตัวประกอบ โดยห.ร.ม. คือผลคูณของจำนวนที่ซ้ำกัน
3.  โดยวิธีการตั้งหาร (เหมาะสำหรับจำนวนมาก ๆ) โดย ห.ร.ม.คือค่าสุดท้าย 
สรุปได้ว่าหา ค.ร.น. ได้ 3  วิธี
1.  โดยการหาตัวประกอบ (และเป็นตัวประกอบที่น้อยที่สุด)
2. โดยวิธีการแยกตัวประกอบ (ค.ร.น. คือตัวซ้ำคูณทุกตัวที่ไม่ซ้ำ)
3. โดยวิธีการตั้งหารยาว

ความสัมพันธ์ระหว่าง ห.ร.ม. และ ค.ร.น. 
                 ให้ ค.ร.น. ของ a , b  คือ P ห.ร.ม. ของ  a, b  คือ Q   จะได้ว่า ค.ร.น. ของ a และ b เท่ากับ ab หรือท่องว่า ห.ร.ม. x ค.ร.น. = เลข 2
จำนวนนั้นคูณกัน    
                                          ค.ร.น. x ห.ร.ม. = a x b
นั่นคือ 
  P x Q  = a x b 
ตัวอย่าง
                  จำนวนนับ 2 จำนวนมีผลคูณเท่ากับ 60 และมี ห.ร.ม. เท่ากับ 3 จงหา ค.ร.น. ของจำนวนทั้งสอง
วิธีทำ
 ค.ร.น. ของ a และ b x ห.ร.ม. ของ a และ b = a x b
                     ค. ร.น. ของ a และ b x 3 = 60
                     ค.ร.น. ของ a และ b = 60/3             = 20
ตัวอย่าง
               ผลคูณของ ค.ร.น. และ ห.ร.ม. ของจำนวนนับ a และ b เท่ากับ 48 ถ้า a เท่ากับ 12 ค่าจำนวนนับ b เป็นเท่าไร
วิธีทำ
                              ค.ร.น. x ห.ร.ม. = a x b 
                                   48 =  12 x  b
                                          b  =  48/12          
                                              =  4

6) จำนวนคู่และจำนวนคี่
   จำนวนคู่  คือ จำนวนนับที่หารด้วย 2 ลงตัว หรือมี 2 เป็นตัวประกอบ หรือ
                             จำนวนเต็ม  m  จะเรียกว่าจำนวนคู่  ถ้า m = 2k เมื่อ k เป็นจำนวนเต็มใด ๆ 
ตัวอย่าง               2,  4,  6,  8 , 10 เป็นจำนวนคู่เพราะ 2 หารได้ลงตัว

จำนวนคี่      คือ จำนวนนับที่หารด้วย 2 แล้วไม่ลงตัว (หรือเหลือเศษ 1) หรือ
                             จำนวนเต็ม  m จะเรียกว่าจำนวนคี่  ถ้า m = 2k + 1 หรือ m = 2k - 1  เมื่อ k เป็นจำนวนเต็มใด ๆ
ตัวอย่าง   1, 3 , 5 , 7 , 9 เป็นจำนวนคี่ เพราะหารด้วย 2 ไม่ลงตัว

******  0  เป็นจำนวนคู่  *****
สมบัติของจำนวนคู่และจำนวนคี่
(1) จำนวนคู่  (+ ,-)  จำนวนคู่ = จำนวนคู่
(2) จำนวนคี่ (+, -) จำนวนคี่ = จำนวนคู่
(3) จำนวนคู่ (+,-) จำนวนคี่ = จำนวนคี่
(4) จำนวนใด ๆ (จะคู่หรือคี่) x จำนวนคู่ = จำนวนคู่

โจทย์เสริมประสบการณ์
1) ตัวประกอบของ 27 มีจำนวนใดบ้าง 
2) จำนวน 198 แยกตัวประกอบได้เท่าใด
3) จำนวนตัวประกอบของ 300 มีกี่จำนวน
4) จำนวนตัวประกอบของ 432 มีกี่จำนวน
5) จำนวนนับที่หาร 1,176 ลงตัวมีกี่จำนวน
6) จำนวนนับที่หาร 324x432 ลงตัวมีกี่จำนวน
7) จำนวนที่มากที่สุดที่นำมาหาร 33 และ 48 แล้วเหลือเศษ 3 เท่ากัน คือจำนวนใด
8) จำนวนที่น้อยที่สุดที่หารด้วย 9 กับ 12 แล้วเหลือเศษ 3 เท่ากันคือจำนวนใด
9) สนามวงกลมยาว 2100 เมตร แดงเดินได้นาทีละ 30 เมตร ดำเดินได้นาทีละ 70 เมตร ถ้าเขาเดินสนามกี่รอบก็ได้ 
          ถามว่า   1) กี่นาทีที่เขาเดินถึงจุดเดิมพร้อมกัน 
                         2) ขณะนี้แดงเดินได้กี่รอบ
10) สนามวงกลมยาว 400 เมตร แดงวิ่ง 1 รอบในเวลา 30 วินาที ดำวิ่ง 1 รอบใช้เวลา 35 วินาที ถ้าเขาเริ่มวิ่ง พร้อมกันที่จุดเร่มต้นเดียวกันและไปในทางเดียวกัน ดำวิ่งได้กี่รอบ แดงและดำจึงจะมาถึงจุดเริ่มต้นพร้อมกันอีก
11) จำนวนนับ 2 จำนวนมีผลคูณเท่ากับ 60 และมี ห.ร.ม. เท่ากับ 3 จงหา ค.ร.น. ของจำนวนทั้งสอง
12) ผลคูณของ ค.ร.น. และ ห.ร.ม. ของจำนวนนับ a และ b เท่ากับ 48 ถ้า a เท่ากับ 12 ค่าจำนวนนับ b เป็นเท่าไร

             ลองทบทวนและทำแบบฝึกหัดดูนะคะถ้าทำแล้วไม่แน่ใจให้โพสข้อความโต้ตอบนะคะ
            เมื่อใดก็ตามที่ลูก ๆ บ่นว่าไม่อยากเรียน ไม่ชอบเลข..ครูอยากให้ลูก ๆ นำความเกลียดนั้นมาทำให้ชอบให้ได้.โดยแบ่งปันเวลาให้กับการมองดู การทบทวน กดารเล่นกับโจทย์บ้างเพื่อความสนุกสนาน และเพื่อความสำเร็จของเราเอง...
   ครูหวังว่า ตอนที่ 2 เรื่องจำนวนนับ  โดยความย่อมี 6 เรื่อง คือ จำนวนนับ, จำนวนเฉพาะ,การแยกตัวประกอบ, ห.ร.ม.,ค.ร.น.,จำนวนคู่และจำนวนคี่   ครูหวังว่าจะเกิดประโยชน์ และเป็นกุญแจอีกดอกหนึ่งไขไปสู่การเรียนของลูก ๆ มอหนึ่งได้เป็นอย่างดี โดยเฉพาะการเรียนคณิตศาสตร์พื้นฐาน รหัส ค 31101 นี้คงต้องมีแน่นอน
และนี่คือบันไดแรกที่จะก้าวไปสู่เนื้อหาชั้นสูงต่อไป ...สำหรับตอนที่ 3 หวังว่าคงติดตามกันต่อนะคะ.....

              parrot.