แก้โจทย์คณิตฯ มาตรฐานใหม่ จากเกาหลี

ม.ต้น แก้โจทย์คณิตฯ มาตรฐานใหม่ จากเกาหลี ... การเรียงสับเปลี่ยน

        สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี (สสวท.) จัดสอบประเมิน ความสามารถในการแก้ปัญหาทางคณิตศาสตร์ ระดับมัธยมศึกษาตอนต้น 148 ศูนย์สอบทั่วประเทศ ไปเมื่อวันที่ 6 พ.ย.ที่ผ่านมา 
ถือเป็นการจัดสอบประเมินครั้งยิ่งใหญ่ มีนักเรียนเข้าร่วมการสอบประมาณ 59,000 คน

โครงการนี้ได้คัดเลือกข้อสอบจากประเทศเกาหลีใต้ ให้สอดคล้องกับมาตรฐานหลักสูตรคณิตศาสตร์ แล้วนำมาประเมินความสามารถรายบุคคลโดยละเอียด "เจาะลึก" เพื่อประเมินความสามารถด้านเนื้อหาเกี่ยวกับจำนวนและการดำเนินการ การวัด พีชคณิต เรขาคณิต การวิเคราะห์ข้อมูลและสถิติ ทักษะกระบวนการทางคณิตศาสตร์ ประเมินระดับพฤติกรรมการเรียนรู้ ความจำ ความเข้าใจ การนำไปใช้ การวิเคราะห์ สังเคราะห์

อาจารย์ชมัยพร ตั้งตน หัวหน้าสาขาคณิตศาสตร์มัธยมศึกษา สสวท. อธิบายเหตุผลที่ต้องใช้ข้อสอบจากประเทศเกาหลีว่า อีกไม่นานประเทศไทยจะเข้าร่วมเป็นสมาชิกชุมชนอาเซียนแล้ว ทำอย่างไรถึงจะกระตุ้นบรรยากาศทางวิชาการให้เด็กไทยของเรามีความสามารถทางคณิตศาสตร์อยู่ระดับแนวหน้าของอาเซียน และจากผลการสอบประเมินในระดับนานาชาติ ไม่ว่าจะเป็นการสอบ TIMSS PISA พบว่า ผลการประเมินของประเทศเกาหลีได้คะแนนสูงในทุกสนาม โดยเฉพาะผลการสอบ PISA ซึ่งเป็นการสอบวัดโจทย์ปัญหา เกาหลีก็มาเป็นอันดับ 1 และที่สำคัญเกาหลีมีความเป็นเอเชียเหมือนเรา ทั้งนี้ ระบบการประเมินและวิเคราะห์ผลผู้เรียนเป็นรายบุคคลที่นำมาใช้สอบนั้น ประเทศเกาหลีใต้ดำเนินการมา 11 ปีแล้ว

อ่านข่าวเพิ่มเติม https://www.khaosod.co.th/view_news.php?newsid=TURObFpIVXdPVEUxTVRFMU13PT0=&sectionid=TURNeE5RPT0=&day=TWpBeE1DMHhNUzB4TlE9PQ==
คณิตศาสตร์ที่เกี่ยวข้อง
วิธีจัดหมู่
การเรียงสับเปลี่ยน คือ เอารูปแบบของการเรียงลำดับเป็นเรื่องสำคัญ สิ่งของ 2 กลุ่ม แม้จะมีของทุกอย่างเหมือนกัน แต่ถ้ารูปแบบของการเรียงลำดับต่างกันถือว่าเป็นวิธีที่ต่างกัน การจัดหมู่ ไม่ถือรูปแบบของการเรียงลำดับเป็นสำคัญ สิ่งของ 2 กลุ่ม ถ้ามีของทุกสิ่งในกลุ่มเหมือนกัน ไม่ว่าจะเรียงลำดับต่างกันอย่างไร ก็ถือว่าเป็นวิธีเดียวกัน แต่ถ้าสิ่งของในแต่ละกลุ่มแตกต่างกันแม้เพียงสิ่งเดียว ก็ถือว่าเป็นคนละวิธี

ตัวอย่าง การจัดเรียงสับเปลี่ยนตัวอักษร a , b , c ครั้งละ 2 ตัว จะได้ 6 วิธี คือ
       a b        b c        c a 
       b a        c b        a c 
แต่ในเรื่องการจัดหมู่ ถือว่ามีเพียง 3 วิธี คือ         a b         b c         c a

พิจารณาในแง่ของเซตการจัดหมู่สิ่งของ 3 สิ่ง ดังกล่าวโดยจัดครั้งละ 2 สิ่งก็คือ การหาสับเซต ที่มีสมาชิก 2 ตัวของเซต {a,b,c} ซึ่งจะได้ 3 สับเชต คือ {a,b},{a,c} ,{b, c}         
ดังนั้น การเลือกตัวอักษร 2 ตัว จากตัวอักษร 3 ตัวที่กำหนดให้จะมีทั้งหมด 3 วิธี 
โดยทั่วไปวิธีจัดหมู่สิ่งของ n สิ่งที่แตกต่างกัน โดยให้มีหมู่ละ r สิ่ง ( r< หรือ= n ) คือการหาสับเซตที่มีสมาชิก r ตัว จากเซตที่มีสมาชิก n ตัวที่กำหนดให้ 
จำนวนวิธีจัดหมู่สิ่งของที่แตกต่างกัน n สิ่ง โดยจัดหมู่ละ r สิ่งเขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ C _n,rหรือ ⁿ C _r หรือ n C r 
จำนวนวิธีการจัดหมู่ของตัวอักษร 3 ตัว โดยจัดครั้งละ 2 ตัว แทนด้วย C _{3, 2} 
ถ้าในแต่ละหมู่ที่เลือกมาถือลำดับเป็นสำคัญ จะพบว่าตัวอักษรในแต่ละหมู่ยังสามารถสลับกันได้อีก 2! วิธี 
ดังนั้น C _3,2 X 2! = จำนวนวิธีเรียงสับเปลี่ยนตัวอักษร 2 ตัว จากตัวอักษรที่แตกต่างกัน 3 ตัว 
นั่นคือ C _3,2 X 2! = P _{3 , 2} 
C _3,2 = 3 วิธี

โดยทั่วไป ความสัมพันธ์ของการจัดเรียงสับเปลี่ยนและการจัดหมู่สิ่งของ n สิ่งที่แตกต่างกัน โดยจัดครั้งละ r สิ่งคือ         C _{n , r} X r! = P _{n , r}

การแบ่งสิ่งของที่แตกต่างออกเป็นกลุ่ม โดยจำนวนสิ่งของในแต่ละกลุ่มไม่เท่ากัน
หลักในการคิด คือ ใช้วิธีการจัดหมู่ไปทีละขั้นตอน 
ตัวอย่าง มีนักเรียน 6 คนจัดแบ่งออกเป็น 3 กลุ่ม โดยให้มีกลู่มละ 3 , 2 และ 1 คน ได้กี่วิธี
การทำงานนี้ประกอบด้วย 3 ขั้นตอน คือ 
ขั้นที่ 1 เลือกคน 3 คน จาก 6 คน มาเป็นกลุ่มที่ 1 จัดได้ C 6,3 วิธี
ในแต่ละวิธีของขั้นตอนที่ 1 สามารถเลือกทำขั้นที่ 2 ได้ดังนี้ 
ขั้นที่ 2 เลือกคน 2 คน จาก 3 คนที่เหลือในขั้นตอนที่ 2 จัดได้ C _3,2 วิธี
ในแต่ละวิธีของขั้นตอนที่ 2 สามารถเลือกทำขั้นที่ 3 ได้ดังนี้
ขั้นที่ 3 เลือกคน 1 คน จาก 1 คนที่เหลือในขั้นตอนที่ 2 จัดได้ C _1,1 วิธี
สรุป จากการกระทำทั้ง 3 ขั้นตอนต่อเนื่องกัน
จำนวนวิธีที่จัดได้ทั้งหมด = C _6,3 X C _3,2 X C _1,1 =  วิธี

สรุป เป็นกฎเกณฑ์ได้ดังนี้ ถ้ามีสิ่งของ n สิ่งที่แตกต่างกัน ต้องการแบ่งเป็น k กลุ่ม แต่ละกลุ่มมีสิ่งของ ไม่เท่ากัน โดยให้กลุ่มที่ 1,2,3,…,k มีสิ่งของ n ₁,n ₂,…,n _k สิ่งตามลำดับ และ n ₁+ n₂+…+ n _k = n

การแบ่งสิ่งของที่แตกต่างออกเป็นกลุ่ม โดยที่จำนวนสิ่งของในแต่ละกลุ่มเท่ากัน และแต่ละกลุ่มมีลักษณะต่างกัน
ตัวอย่าง บริษัทหนึ่ง คัดเลือกพนักงานหญิง 4 คน ต้องการจัดหญิง 4 คนนี้ไปประจำที่ภาคใต้ เมืองหาดใหญ่และยะลา เมืองละ 2 คน จะมีวิธีจัดพนักงานทั้ง 4 คนนี้ได้ทั้งหมดกี่วิธี แบ่งพนักงานออกเป็น 2 กลุ่ม กลุ่มละ 2 คน เนื่องจากกลุ่มหนึ่งไปทำงานที่หาดใหญ่ อีกกลุ่มหนึ่งไปทำงานที่ยะลา ดังนั้น 2 กลุ่มนี้มีลักษณะไม่เหมือนกัน
ดังนั้น จากหลักการดังกล่าวข้างต้น จำนวนวิธีจัดทั้งหมด = 6 วิธี สามารถแสดงให้เห็นภาพ ดังนี้

ให้ ก ข ค ง เป็นพนักงานหญิง 4 คน นำมาจัดแบ่งเป็น 2 กลุ่มๆละ 2 คนได้ดังนี้ 
วิธีที่       ทำงานที่เมืองหาดใหญ่           ทำงานที่เมืองยะลา 
    1              ก ข                                           ค ง
    2              ก ค                                           ข ง
    3              ก ง                                           ข ค
    4              ข ค                                           ก ง
    5              ข ง                                            ก ค
    6              ค ง                                           ก ข
ให้สังเกตวิธีที่ 1 กับวิธีที่ 6 แม้ว่านางสาว ก จะคู่กับนางสาว ข และ ค คู่กับ ง ก็ตามแต่ให้สถานที่ทำงานต่างกัน การแบ่งสิ่งของที่แตกต่างออกเป็นกลุ่ม โดยที่จำนวนสิ่งของในแต่ละกลุ่มเท่ากัน และแต่ละกลุ่มมีลักษณะเหมือนกัน 
กรณีนี้จะถือว่ากลุ่มที่เราแบ่งนั้น ไม่ว่าจะอยู่กลุ่มใดมีความสำคัญเท่ากัน หรือเหมือนกัน ดังตัวอย่าง

ตัวอย่าง มีของ 4 สิ่งคือ ก ข ค ง ต้องการแบ่งเป็น 2 กลุ่มๆละ 2 สิ่ง ได้กี่วิธี
หากใช้วิธีคิดตามข้างต้น โดยถือว่าทั้งสองกลุ่มมีลักษณะแตกต่างกัน จะได้จำนวนวิธี = 6 วิธี
สามารถแสดงให้เห็นภาพ ดังนี้
วิธีที่       กลุ่มแรก      กลุ่มหลัง
    1         ก ข                 ค ง
    2         ก ค                 ข ง
    3         ก ง                 ข ค
    4         ข ค                 ก ง
    5         ข ง                 ก ค
    6         ค ง                 ก ข

พิจารณา สิ่งของของแต่ละกลุ่มจาก 6 วิธี จะพบว่า
การแบ่งกลุ่มวิธีที่ 1 เหมือนกับวิธีที่ 6 
การแบ่งกลุ่มวิธีที่ 2 เหมือนกับวิธีที่ 5 
การแบ่งกลุ่มวิธีที่ 3 เหมือนกับวิธีที่ 4

เนื่องจากของ 2 กลุ่มมีจำนวนสิ่งของเท่ากัน สลับที่กันได้ 2! วิธี แต่การสลับที่กัน ไม่ถือว่าเป็นวิธีที่แตกต่างกัน จำนวนวิธีแบ่ง 6 วิธีข้างต้น จึงเป็นจำนวนที่เกิดจากการนับซ้ำ ดังนั้นเมื่อต้องการหาจำนวนวิธีที่ต่างกัน จะต้องนำ 2! ไปหารจำนวนวิธีแบ่งที่หาไว้แต่เดิม จำนวนวิธีแบ่งของ 4 สิ่ง ออกเป็น 2 กลุ่มๆละ 2 สิ่ง =  3 วิธี 
สรุปเป็นกฎเกณฑ์ได้ดังนี้
ถ้ามีสิ่งของ n สิ่งที่แตกต่างกัน ต้องการแบ่งเป็น k กลุ่ม โดยที่บางกลุ่มที่มีจำนวนสิ่งของเท่ากัน 
ถ้ากลุ่มที่มีจำนวนสิ่งของเท่ากัน ไม่มีความหมายแตกต่างระหว่างกลุ่ม 
จำนวนวิธีแบ่ง จะต้องหาร ด้วยแฟกทอเรียลของจำนวนกลุ่มที่มีสิ่งของเท่ากัน

การแบ่งสิ่งของที่เหมือนกันออกเป็นกลุ่มย่อยๆ
การนำสิ่งของที่เหมือนกันๆกันมาแบ่งเป็นกลุ่มๆ โดยมีเงื่อนไขดังนี้
1. ในแต่ละกลุ่มต้องมีของอย่างน้อย 1 สิ่ง
2. ในแต่ละกลุ่มต้องมีลักษณะไม่เหมือนกัน

แนวการคิดสามารถกระทำได้ ดังนี้
ตัวอย่าง ให้ของที่เหมือนกันทั้งหมดมี 6 สิ่ง ต้องการแบ่งให้กับเด็ก 3 คน คือ ก , ข, ค 
ขั้นแรก นำของทั้ง 6 สิ่งมาจัดเรียงเป็นแถวยาว
ขั้นสอง นำไม้ 2 อันมาวางคั่นระหว่างของที่วางเรียง เพื่อแบ่งของทั้งหมดเป็น 3 กลุ่ม

ตัวอย่างการวางจะเป็นดังนี้
1. เด็กชาย ก ได้ 1 สิ่ง        เด็กชาย ข ได้ 2 สิ่ง         เด็กชาย ค ได้ 3 สิ่ง 
2. เด็กชาย ก ได้ 2 สิ่ง        เด็กชาย ข ได้ 1 สิ่ง         เด็กชาย ค ได้ 3 สิ่ง

ข้อสังเกต คำว่าแต่ละกลุ่มมีลักษณะไม่เหมือนกันนั้นเป็นอย่างไร 
ดูตัวอย่าง การแบ่งของ 6 สิ่งให้คน 3 คน ตามตัวอย่างข้างต้น อาจจะเกิดวิธีต่อไปนี้ได้

วิธีที่ 1. นาย ก ได้ 1 สิ่ง       นาย ข ได้ 2 สิ่ง       นาย ค ได้ 3 สิ่ง
วิธีที่ 2. นาย ก ได้ 3 สิ่ง       นาย ข ได้ 2 สิ่ง       นาย ค ได้ 1 สิ่ง
จะพบว่า 2 วิธี นี้ต่างกัน

ลักษณะเช่นนี้ ถือว่า แต่ละกลุ่มมีลักษณะไม่เหมือนกัน เพราะบ่งบอกว่าแต่ละกลุ่มเป็นของใคร แต่ถ้าไม่บ่งบอกว่า แต่ละกลุ่มเป็นของใคร กล่าวคือ พูดลอยๆจะเหมือนกัน นั่นคือ ใน 3 กลุ่มนั้น
มีกลุ่มที่มี 1 ชิ้น กลุ่มที่มี 2 ชิ้น กลุ่มที่มี 3 ชิ้น เหมือนกัน
ดังนั้นในการทำโจทย์เหล่านี้ นักเรียนควรวิเคราะห์และแยกแยะให้ดีว่า แต่ละกลุ่มมีลักษณะแตกต่างกันหรือไม่

ตัวอย่าง จะแบ่งลูกบอล 4 ลูกเหมือนๆกัน ให้กับ นายอิน กับนายจัน โดยที่แต่ละคนต้องได้รับอย่างน้อย 1 ลูก ทำได้กี่วิธี
การแบ่งลูกบอล 4 ลูกเหมือนๆกัน ให้กับ นายอิน กับนายจัน โดยที่แต่ละคนต้องได้รับอย่างน้อย 1 ลูก
ก็เหมือนกับแบ่งลูกบอลอออกเป็นกลุ่ม 2 กลุ่ม กลุ่มละอย่างน้อย 1 ลูก และแต่ละกลุ่มมีลักษณะไม่เหมือนกัน 
(กลุ่มหนึ่งเป็นของนายอิน และอีกกลุ่มหนึ่งเป็นของ นายจัน ) 
ดังนั้นจำนวนวิธีที่ทำได้ C _{4-1 , 2-1} = C _{3 , 1} = 3 วิธี
วิธีที่ 1       นายอินได้ 1       นายจันได้ 3 
วิธีที่ 2       นายอินได้ 2       นายจันได้ 2 
วิธีที่ 3       นายอินได้ 3       นายจันได้ 1

ตัวอย่าง จะแบ่งลูกบอล 4 ลูกเหมือนกัน ออกเป็น 2 กอง โดยที่แต่ละกองต้องมีลูกบอลอย่างน้อย 1 ลูก ทำได้กี่วิธี 
กรณีที่แต่ละกลุ่มมีลักษณะเหมือนกัน ไม่ได้บ่งบอกว่าแต่ละกลุ่มเป็นของใคร จะได้ว่า 
วิธีที่ 1 และวิธีที่ 3 จะเหมือนกัน คือ กลุ่มหนึ่งมี 1 ลูก และอีกกลุ่มหนึ่งมี 3 ลูก 
จำนวนวิธีที่ทำได้ = 2 วิธี 
นั่นคือ วิธีแรก แบ่งกลุ่มละ 1 ลูก กับ 3 ลูก 
วิธีที่สอง แบ่งกลุ่มละ 2 ลูก กับ 2 ลูก

สรุป การแบ่งกลุ่ม เป็นการแบ่งสิ่งของทั้งหมดออกเป็นกลุ่ม ให้มองเห็นภาพรวมได้ว่ามีกี่กลุ่ม แต่ละกลุ่มมีสิ่งของเท่าใด มี 3 กรณี กรณีที่ 1 ถ้ามีสิ่งของ n สิ่ง ที่แตกต่างกัน ต้องการแบ่งเป็น k กลุ่ม 
แต่ละกลุ่มมีจำนวนสิ่งของไม่เท่ากัน จำนวนวิธีแบ่ง 
กรณีที่ 2 ถ้ามีสิ่งของ n สิ่ง ที่แตกต่างกัน ต้องการแบ่งเป็น k กลุ่ม โดยที่บางกลุ่มมีจำนวนสิ่งของเท่ากัน
2.1) ถ้ากลุ่มที่มีจำนวนสิ่งของเท่ากัน มีความแตกต่างระหว่างกลุ่ม จำนวนวิธีแบ่งเท่ากับ  
2.2) ถ้ากลุ่มที่มีจำนวนสิ่งของเท่ากัน ไม่มีความแตกต่างระหว่างกลุ่ม จำนวนวิธีแบ่งจะต้องหารผลลัพธ์ในข้อ (2.1) ด้วยแฟกทอเรียลของจำนวนกลุ่มที่มีสิ่งของเท่ากัน
2.3) ถ้ามีสิ่งของ n สิ่งที่เหมือนกัน ต้องการแบ่งเป็น r กลุ่ม โดยที่แต่ละกลุ่มมีความแตกต่างกัน และแต่ละกลุ่มจะต้องมีสิ่งของอย่างน้อย 1 สิ่ง จำนวนวิธีแบ่งเท่ากับ C _n-1,r-1 วิธี

แบบทดสอบ https://www.thaigoodview.com/library/teachershow/yala/ampornpan/mathonline/learn/fifth.html
วิธีเรียงสับเปลี่ยน https://thatsanee.chs.ac.th/course2.html
วิธีเรียงสับเปลี่ยนเชิงวงกลม https://thatsanee.chs.ac.th/p4_permu.html
แบบฝึกหัด https://thatsanee.chs.ac.th/Exercise/index.html
สรุปเนื้อหาวิธีเรียงสับเหลี่ยนและการจัดหมู่ krunawaporn.net76.net/Math/m6/10%2014.Mpe&com6.doc
คลังความรู้ วิธีเรียงสับเปลี่ยนและการจัดหมู่ ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 6https://www.thaigoodview.com/library/teachershow/songkhla/wilaiwan_n/index.html
วิธีเรียงสับเปลี่ยนเชิงเส้นตรงของสิ่งของที่แตกต่างกันทั้งหมดhttps://www.thaigoodview.com/library/teachershow/yala/ampornpan/mathonline/learn/third.html
แบบทดสอบก่อนเรียน https://thatsanee.chs.ac.th/pretest.html
แบบทดสอบหลังเรียน https://thatsanee.chs.ac.th/posttest.html

คำถามในห้องเรียน
1.ให้นักเรียนนำ PISA มาจัดเรียงสับเปลี่ยนตัวอักษร P , I , S , A ครั้งละ 2 ตัว จะได้กี่วิธี
2.ให้นักเรียนนำ148 มาจัดเรียงสับเปลี่ยนจำนวน 1 , 4 , 8 ครั้งละ 3 ตัว จะได้กี่วิธี

ข้อเสนอแนะ
การกระตุ้นบรรยากาศทางวิชาการให้เด็กไทยมีความสามารถทางคณิตศาสตร์อยู่ระดับแนวหน้าของอาเซียน คิดว่าเตรียมนักเรียนเพียงพอหรือไม่ แล้วประเทศไทยมีระบบการประเมินและวิเคราะห์ผลผู้เรียนเป็นรายบุคคลมากีปีแล้ว

การบูรณาการกับกลุ่มสาระอื่นๆ
กลุ่มสาระการเรียนรู้ภาษาต่างประเทศ 
สาระที่ 1  ภาษาเพื่อการสื่อสาร
มาตรฐาน ต 1.1 เข้าใจและตีความเรื่องที่ฟังและอ่านจากสื่อประเภทต่างๆ  และแสดงความคิดเห็นอย่างมีเหตุผล
มาตรฐาน ต 1.2 มีทักษะการสื่อสารทางภาษาในการแลกเปลี่ยนข้อมูลข่าวสาร แสดงความรู้สึก และความคิดเห็นอย่างมีประสิทธิภาพ
กลุ่มสาระการเรียนรู้ภาษาไทย
สาระที่ 4 หลักการใช้ภาษาไทย
มาตรฐาน  ท 4.1  เข้าใจธรรมชาติของภาษาและหลักภาษาไทย  การเปลี่ยนแปลงของภาษาและพลังของภาษา  ภูมิปัญญาทางภาษา  และรักษาภาษาไทยไว้เป็นสมบัติของชาติ    

ที่มาของภาพ https://www.khaosod.co.th/news-photo/khaosod/2010/11/edu09151153p2.jpg
ที่มาของภาพ https://www.thepbodint.ac.th/news/images/901.jpg 
ที่มาของภาพ  https://thatsanee.chs.ac.th/circle1.jpg
ที่มาของภาพ https://e-learning.snru.ac.th/els/ris24/picture/3coins.jpg
ที่มาของภาพ  https://game.sanook.com/imgUpload/playnow/gameThumb53604060_001.jpg

 
ที่มา : https://www.sahavicha.com/?name=knowledge&file=readknowledge&id=3324