จำนวนจริง

จำนวนจริงชนิดต่าง ๆ

1. จำนวนนับ เป็นจำนวนชนิดแรกที่มนุษย์คิดขึ้นเพื่อใช้นับจำนวนสัตว์เลี้ยง

เซตของจำนวนนับเขียนได้ดังนี้  N = { 1 , 2 , 3 , 4 , … }

2. จำนวนเต็ม  เมื่อสังคมของมนุษย์เจริญมากขึ้น จนวนนับก็ไม่เพียงพอแก่การนำไปใช้ จึงได้มรการคิดจำนวนชนิดใหม่ขึ้นโดยการนำจำนวนนับ 2 จำนวนมาลบกัน ผลลัพธ์ที่ได้เรียกว่า “จำนวนเต็ม” ซึ่งแบ่งเป็น 3 อย่างคือ

1)     จำนวนเต็มบวก เกิดจากการลบที่ตัวตั้งมีค่ามากกว่าตัวลบ
เซตของจำนวนเต็มบวกแทนด้วย     I⁺ = { 1 , 2 , 3 , … }

2)     จำนวนเต็มศูนย์ เกิดจากการลบที่ตัวตั้งเท่ากับตัวลบ
เซตของจำนวนเต็มศูนย์ = { 0 } มีสมาชิกตัวเดียว

3)     จำนวนเต็มลบเกิดจากการลบที่ตัวตั้งมีค่าน้อยกว่าตัวลบ
เซตของจำนวนเต็มลบแทนด้วย I^- = { -1 , -2 , -3 , … }

Note .::. จำนวนเต็ม = I = { … , -3 , -2 , -1 , 0 , 1 , 2 , 3 , … }

3.                             จำนวนตรรกยะ  เกิดจากการนำจำนวนเต็ม 2 จำนวนมาหารกัน โดยที่ตัวหารไม่เท่ากับ 0 อาจกล่าวได้ว่าจำนวนตรรกยะคือ จำนวนที่เขียนในรูปเศษส่วนได้
เซตของจำนวนตรรกยะเขียนได้ดังนี้

Q = {  |  เป็นจำนวนเต็ม และ }

Note .::.

1)     จำนวนตรรกยะมีทั้งที่เป็นบวก  เป็นศูนย์ และเป็นลบ

2)     จำนวนเต็มทุกจำนวนเป็นเป็นจำนวนตรรกยะด้วย  เพราะเขียนในรูปเศษส่วนได้  เช่น

3)     จำนวนที่เป็นทศนิยมรู้จบ กับจำนวนที่เป็นทศนิยมไม่รู้จบแบบซ้ำทุกจำนวนเป็นจำนวนตรกกยะ เพราะแปลงเป็นเศษส่วนได้  เช่น

4.                             จำนวนอตรรกยะ คือ จำนวนที่เขียนในรูปเศษส่วนไม่ได้ ซึ่งได้แก่จำนวนที่ติดรากแต่ถอดรากไม่ได้ กับจำนวนที่เป็นทศนิยมไม่รู้จบแบบไม่ซ้ำ เช่น

5.                             จำนวนจริง คือ เซตของจำนวนที่เกิดจากการนำเซตของจำนวนตรรกยะยูเนียนกับเซตของจำนวนอตรรกยะ
เขียนแทนด้วยเซต

การบวกในระบบจำนวนจริง

สมบัติของจำนวนจริงเกี่ยวกับการบวก

1. สมบัติปิดของการบวก
   ถ้า  และ   เป็นจำนวนจริง  แล้ว   เป็นจำนวนจริง
   เช่น  และ  เป็นจำนวนจริง
   ดังนั้น    เป็นจำนวนจริง
           และ  เป็นจำนวนจริง
   ดังนั้น    เป็นจำนวนจริง

2. สมบัติการสลับที่ของการบวก
   ถ้า  และ   เป็นจำนวนจริง
   แล้ว   
   เช่น  และ  เป็นจำนวนจริง
   ดังนั้น             และ  เป็นจำนวนจริง
   ดังนั้น 

3. สมบัติการเปลี่ยนกลุ่มของการบวก
   ถ้า  ,  และ   เป็นจำนวนจริง
   แล้ว   
   เช่น เป็นจำนวนจริง
   ดังนั้น  
            และ  เป็นจำนวนจริง
   ดังนั้น 

4. เอกลักษณ์ของการบวก
   ในระบบจำนวนจริงมี  เป็นเอกลักษณ์การบวก
   สำหรับจำนวนจริง  ใด ๆ
   นั่นคือ  
   เช่น       เป็นจำนวนจริง
   ดังนั้น 

5. อินเวอร์สการบวก
   ในระบบจำนวนจริง  ถ้า  เป็นจำนวนจริง
   จะมีจำนวนจริง  ซึ่ง 
   เช่น       เป็นจำนวนจริง ใด ๆ
   ดังนั้น